數和形歷來是數學的兩大支柱，在學前階段，有關兒童數概念的認知的研究層出不窮，并建立了一系列相應的兒童數學能力發展的理論。而對形的研究則相對較少，與形相關的幾何學是數學中一門研究空間位置或定位的科學。幾何學有多種，與兒童的經驗最密切相關的是拓撲幾何、歐氏幾何、射影幾何及度量幾何。皮亞杰從1929年開始著手研究空間、幾何等概念的形成和發展。皮亞杰指出，兒童空間觀念的演化是在兩個不同的水平上分別進行的——知覺水平和思維(想像)水平。在邏輯上并非如人們所假定的那樣，后者是從前者中而來，而是各自沿著本身的途徑發展的。兒童理解的空間知識不一定與他們看到的相匹配。年幼兒童也許看到了一條“直線”或一個“三角形”，但他無法將這些觀念轉化為心理表象。皮亞杰強調的空間表象是一種結構，而不是知覺的簡單反應。從一般意義上講，表象活動是知覺活動的反應或投射。

　　在研究2～7歲幼兒根據知覺抽象幾何概念或幾何圖形的能力時，皮亞杰通過觀察兒童用觸覺識別形狀的過程，發現兒童對幾何圖形進行再認的發展順序是：兒童熟悉的物體——拓撲圖形——歐氏(歐幾里得)幾何圖形。

　　在研究射影空間時，皮亞杰讓兒童畫出不同幾何圖形的透視圖、向兒童提問一些有關物影投射，從不同視角觀察到的物物關系以及圓柱、圓錐一類幾何體分割后的部位等問題。皮亞杰認為，在射影幾何中一個物體或一條直線這樣的概念，兒童不是根據它本身來孤立考慮的，而是跟觀察它的視點有關。皮亞杰把一個娃娃放在兒童的右角上，娃娃只能看到一根木棒的端面，而兒童能看到一根長的木棒，讓兒童畫出這根木棒他看出來的樣子及娃娃看出來的樣子。可以觀察到，小于4歲的兒童表現出來絲毫不能理解，4～7歲的兒童表現出完全不會或部分地不會對視點加以區別。由此，在學前階段的兒童往往基于自身的視角來判斷事物的位置。

　　在研究物體相互位置的空間關系時，皮亞杰用“瓶中水位”【3】實驗表明，四五歲幼兒的表現通常是涂鴉，對任務本身都不理解；而五六歲幼兒則以瓶底或瓶子的壁為參照系統，非以自然界中的水平軸——桌面為參照系統。學前兒童還無法在空間中將物體安置在相關位置，使之相互間有正確的空間關系。

　　總之，皮亞杰認為對于三四歲幼兒來說，形狀不是嚴格不變的，而是在操作下可改變的。當他們臨摹正方形、長方形、圓形和橢圓形時，都用一個封閉的曲線代表他們畫的圖形不是直線或沒有角度。而從拓撲學角度來看，方形和圓形是同樣的圖形，十字形和弧形是另一種同樣的圖形。皮亞杰認為，對于這種隋況是不能用兒童的小肌肉沒有充分發展來解釋的，因為同年齡的兒童能正確地描繪內含一個小圓的一個封閉圓形，也能描繪內圓形和外圓形的地形學上的關系，甚至能描繪一個封閉圓形和一個圓形間在界線上的關系，但是他卻不能正確臨摹一個看起來技術含量更低的正方形。這表明，年齡很小的兒童就有拓撲學的直覺，他們已能夠領會鄰近、分離、包圍、封閉等拓撲學上的關系。而屬于歐幾里得幾何的直線、角度等概念，他們還不能領會，當然更不能臨摹。

　　對學前兒童空間幾何教育的啟示

　　雖然一些心理學家發現皮亞杰理論及研究在邏輯及方法論上存在一定缺陷，進而提出了一些新思想、新方法，使該領域的研究有了新的發展。但無論是過去還是現在，皮亞杰理論及其研究仍占主導地位。其理論在學前教育的應用層出不窮，他的兒童空間概念的研究對學前教育也有許多有益的啟示，有些一直是當今學前教育中所提倡的(如幼兒的動手操作等)。在具體的學前教育實踐中，筆者根據兒童的空間概念發展提出如下建議：

　　1．空間幾何的教學要與幼兒的生活經驗緊密結合。

　　從皮亞杰的研究可知，學前兒童對幾何形狀的理解順序是熟悉物品——拓撲圖形——歐氏圖形。因此，幾何教學應從幼兒的實際生活經驗著手；無論隨機性教學或創意設計的結構性活動都要盡量與幼兒生活實際聯結，或以生活情境為素材，這樣對幼兒的學習才有意義。

　　比如，兒童每天早飯或點心吃的蛋糕、面包和餅干之類的食物有方也有圓；玩的各色積木有長也有短，形體各異；馬路上的人行道往往都鋪成各種幾何形狀。教師可結合生活場景進行隨機教學，將抽象概念與具體生活經驗結合，并借助對各種物體的邊、側面、角等性質的介紹，使兒童能夠逐漸知道這些幾何形狀的名稱。

　　2．引導兒童關注各種拓撲關系。

　　盡管心理學界對皮亞杰的關于兒童空間概念發展的次序并未一致贊同，但引導兒童關注身邊的各種拓撲關系卻是不爭的一致。教師可以結合兒童的繪畫作品引導兒童仔細觀察，如畫中人的頭、身體、四肢的次序和包圍關系，人臉上嘴、鼻子、嘴巴和眼睛的分離關系及與臉的輪廓的包圍關系等。同時，在日常生活中應該向兒童提供運用這些拓撲關系的機會，比如眼睛如何畫、把玩具都放回到箱子里去、排隊時看看位置次序是怎樣的。

　　3．要為兒童創設情境，提供大量動手操作的活動。

　　皮亞杰的研究表明，兒童對幾何形狀的理解單憑知覺或視覺是不夠的，還必須通過觸摸探索出圖形的輪廓，進而抽象出形狀來。兒童能夠再認的，特別是能夠表象的，只是那些他們自己能夠重新構造的形狀。許多研究也證實，操作立體幾何圖形的經驗會促進兒童幾何概念的學習(Gethaardt，1973；Prigge．19’78；Bishop，1980)。因此，大部分學者都支持動手操作活動。

　　在空間幾何教學中，看、聽和講并不等于上述抽象和理解的過程，兒童必須根據自己對各種物體的操作來形成自己的心理結構。教師要盡量減少講解演示的教學方式，而應該讓幼兒從日常生活、游戲和教學活動中親身體驗空間幾何概念。這類操作性的活動其實非常多，教師可根據實際需要來開展，如分類、辨認、匹配平面或立體幾何積木，描繪幾何圖形，拼拆幾何圖板(七巧板等)，在釘板上用橡皮筋構造形狀，折紙等。

　　4．有意識地給兒童呈現各種形狀的不同變式。

　　學前兒童具有自我中心的意識，對以他人的視點來考慮問題還有一定的困難，如兒童對自己和娃娃所看到的木棒的不同描述以及對瓶子水位的不同考察。由于學前兒童缺乏對形狀的恒常性的了解，往往會受知覺整體外觀的影響，以為頂點在上的等腰三角形才是三角形如果把三角形、正方形等形狀的位置改變，如移動、旋轉、倒翻等，兒童很有可能就無法確認它們的形狀了，比如把長方形轉動45度，兒童也許就認為它是菱形。因此，教師要注意呈現形狀的各種變式，如在配對、分類或送圖形寶寶回家的游戲中，應該出示邊長不一(等邊、等腰或不規則的)、角度各異(銳角、鈍角、直角)的多種三角形，邊長比例不同的長方形等，同時教師要引導兒童關注圖形的幾何特征和屬性，防止無關因素對圖形定義的干擾。

　　5．鼓勵兒童想像、預測、探究幾何物體之間的關系。

　　皮亞杰的研究顯示，對看不見的物體進行想像，有利于對幾何形體的抽象和理解。當幼兒在進行各種操作活動時，最重要的是要對自己的行動加以思考，操作活動若無思考貫穿其中則會流于形式，為操作而操作毫無意義。因此，教師應鼓勵兒童去想像、預測、探究物體之間的各種關系。比如，把等邊三角形沿著一條高線對折起來，讓兒童想像、預測它會變成什么形狀，讓兒童把自己的結果描述出來，然后通過有益的嘗試來檢驗；或是把長方形沿著一條邊進行旋轉，叫兒童預測它是什么形狀，然后通過電腦進行演示，讓兒童直觀地感知它所形成的圓柱體等，還可通過沿正方形的對角線或中位線折疊，探究正方形與三角形和長方形的相互關系等。

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