2。5實驗三通過推理關系測驗被試能否利用“零”進行乘除運算。

　　被試：有效被試21人。二年12名（男7，女6）；三年9年（男5，女4）。

　　材料：本實驗共包括20組圖片，每組包括4張圖片。其中，11組圖片做練習之用，正式測驗圖片9組。分兩種水平，前一種是乘法水平，后一種是除法水平。

　　步驟：首先對被試進行訓練，以使被試理解測驗意圖。方法為每2張圖片為一組，彼此之間形成乘或除關系，在連續呈現第一、第二張圖片后，讓被試推斷即將出現的第三張圖片應該是什么樣子。然后，呈現供選擇的四張圖片，讓被試從中選出正確的圖片。若不理解，可重復前述過程以便被試做出正確選擇。在被試理解了測驗意圖后，進行正式測驗。正式測驗的每組圖片形成遞推關系，供選擇的第三張圖片正確答案應為“零”。

　　測驗環境：同實驗一

　　記分標準：采用2，1，0三級記分，即自己正確回答2分，經提示正確回答，1分，經提示回答錯誤或不會回答，0分。

　　3結果

　　表1至表4分別列出了各項實驗的結果。

　　表1學前至小學三年級兒童“零”概念理解的測驗成績（實驗一）

　　附圖{圖}

　　表2學前至小學三年級兒童利用“零”進行加減運算測驗的成績（實驗二）

　　附圖{圖}

　　表3小學二、三年級歲兒童利用“零”進行乘除運算測驗的成績（實驗三）

　　附圖{圖}

　　注：水平一、二和總體水平的p值分別為0。098、0。058、0。060。

　　4分析與討論

　　本研究將從教育水平和年齡發展兩個方面對實驗結果分別加以討論。

　　實驗一分三種水平呈現了10組圖片，每組由3張連續遞減的圖片組成，第一、二種水平分別由單一類型和兩種類型抽象圖片構成，第三種水平由實物圖片構成。結果表明，學前至小學三年級被試在三種水平上對“零”概念的掌握呈逐漸上升趨勢，且差異檢驗均達顯著性水平。由于被試受教育的年齡略有差異，使5至9歲各年齡組被試中7、9歲組被試過少，分別為4和7人，但若以年齡為X軸，仍能觀察到測驗成績隨年齡增長呈上升趨勢，但7歲時顯示出明顯的轉折，8歲略有下降后呈平穩發展趨勢。

　　實驗二分兩種水平12組圖片分別測試了兒童使用“零”進行加減運算的能力。結果表明，隨著年級的升高，該能力也逐漸發展，并迅速達到較高的水平，且差異檢驗均達顯著性水平。若不考慮9歲年齡組僅有3名被試（經初步預測發現，9歲孩子在該測驗上產生“天花板效應”，故未繼續測試），這種加減運算能力隨年齡增長也呈現出與實驗一相似的變化趨勢。實驗三也分兩種水平9組圖片對小學二、三年級被試進行了使用“零”進行乘除運算的能力的測驗。之所以沒有提供小學二年級以前的數據，是因為發現這一任務對他們顯得太困難了。結果表明，兒童運用“零”進行乘除運算的能力也呈上升趨勢，差異檢驗均接近顯著水平，即使排除協變量年齡的影響，各年級的成績之間依然達顯著性水平。從年齡發展看，在7至9歲的上升期內，8歲時出現了戲劇性的急劇下降，但差異檢驗并未達顯著性水平。從被試構成看，7、8、9歲的被試分別為4、10和7人，但是，在8歲組的10個人中，分別各有5人在小學二、三年級接受教育，在剔除協變量教育程度的影響后，發現在總的水平上不同年齡組之間的差異達顯著性水平(p=0。021)，說明教育對于乘除運算能力的掌握具有積極的促進作用，而且，在除法能力的運算方面也達顯著水平(0。043)，乘法運算能力之間不存在差異(p=0。105)，說明使用“零”概念進行除法運算更需要教育的參與。

　　對所有三項實驗中被試性別差異的檢驗顯示，“零”概念的掌握和運算均不存在性別差異（所有的p＞0。05）。這一結論與劉范等對其他數概念形成的研究結論是一致的[8]。但需要補充的是，通過對被試測驗期間的反應記錄和個別訪談發現，兒童對“零”概念的掌握之間存在明顯的個別差異，而且，教育對于“零”概念的獲得具有明顯的促進作用。例如，有一5歲女孩，不但能準確地解釋什么是“零”，而且，還能說出零之下還有負數，訪談發現，其母親很早就對她進行數學方面的訓練。

　　5結論

　　綜合三項實驗研究結果，結合以往研究的結論[9-11]，本研究認為，兒童“零”概念的掌握是兒童數概念形成中較高級水平的標志之一。“零”概念的獲得要晚于其他數概念，7歲左右（相當于小學二年級）可能是兒童“零”概念獲得的一個轉折點。兒童對“零”概念內涵的掌握是逐步深入的，教育對于“零”概念精確含義的掌握是必不可少的，尤其是在除法運算中對“零”概念含義的理解。

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